一、提升初中生解数学综合题能力的钥匙：思想和方法
1、学会运用数形结合思想
在初中数学的教学中，整个数学教学过程都离不开“数”与“形”，学生想要学好数学，必须要掌握数形结合能力，在学习过程中有效运用数形结合思想。这一解题思想的运用思路主要是：在对图形性质进行分析时，是以几何直观角度的方式进行的，然后分析数量关系，找到解决问题的方法与手段，或是分析数量关系研究图形性质，继而找出解题方案，解决问题，这种解题思想为数形结合思想。在该思想中，将“数”与“形”有效地结合在一起，从而解决问题。近年来的中考压轴题中，观察题目类型可以看出，平面直角坐标系相关的题目占比较大，这类题目解题时必须要找出点与坐标之间的关系，在解决平面直角坐标系的相关问题时，一方面能够利用“数”研究“形”，另一方面又能够利用“形”研究“数”，最终解决问题。
2、学会运用函数与方程思想
学生在数学学习过程中，要学习利用函数与方程思想解决问题，在掌握函数与方程思想过程中，学生可以通过对问题中存在的数量关系进行分析，结合题目中已知的条件设定出相应的未知数，并转换题目中的已知条件，将其转换为方程（组），解方程（组），求出问题的正确答案，这种解题思想被称为方程思想。在数学问题解题过程中，学会利用方程思想的关键在于建立方程（组），用过对题目中给出的条件进行分析，结合已知条件建立方程（组），从而解决问题。这种解题思想不仅在几何问题、代数问题中得到广泛应用，在生活方面也得到了广泛的应用。在初中数学解题中，函数具有较重的学习比例，函数的主要类型包括直线与抛物线，同时也是一次函数与二次函数的图像形式，可以从上面的分析中得出，在对函数性质、函数解析式进行求解时，函数与方程思想的应用十分关键。例如：要确定一个函数的解析式，必须要根据题目中给出的条件列出与之相对应的方程（组），解方程（组）得到答案，解决问题。
3、学会运用分类讨论的思想
在数学学习中，分类讨论的思想能够看出学生做题时的思维是否严密、准确，通常来说，题目中给出的条件都具有一定的多变性以及不确定性，而利用条件的上述特性能够更好地观察学生的解题思维状况。在对数学问题进行解决时，在讨论时需从不同的角度出发，对容易出现错误、中考压轴题等进行分类讨论，同时也可以对热点问题进行分析。部分数学问题在解决时，可能会存在不同的情况，这时就需要学生运用分类讨论的思想思考问题，通过对不同情况进行分类解决，最终进行综合求解，这种解题方式称为分类讨论法。学生在利用分类讨论思想解题时，必须要严格按照分类讨论的原则进行分类，首先，必须要确保分类的每一个组成都是独立状态；其次，每次分类应当保持相同的分类标准；最后，分类讨论必须要逐级开展。
二、提升初中生解数学综合题能力的路径：分析中考压轴题的解题过程
例题1：一次函数中的几何问题
见图1：已知条件为直线 AB与直线 AC相交，交点为A，AB为y＝－x＋4，AB与x 轴相交，交点为B，直线 AC分别过点C与点D，C与D分别为C（－2，0）、（0，1），连接 BD。
（1）对直线 AC 的解析式进行计算。
（2）计算△ABD的面积、A 的坐标。
（3）在x 轴上，要想让AP＋PD的值最小，是否存在这样一个点P？求解点P，阐述理由。
图1
（1）．学生读题，观察图形，独立解决（1）．
解：（1）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b(k≠0)．
（2）.教师引导解决（2）。学生分小组讨论，指定学生汇报，师生共同指正．
师：如何求△ABD 的面积？
生 1：利用大面积减小面积的方法，也就是补的方法，S△ABD=S△EDB-S△AED．如图2
图2
生 2：将△ABD 分割为两个三角形，△ADF 和△ABF，S△ABD=S△AFD+S△AFB．如图3.
图3
解：方法一（补）：
如图4，设直线 AB 与 y 轴相交，交点为点E，作 AF⊥y 轴于点 F．
图4
方法二（割）：（这种割的方法在二次函数求面积中是常规方法，也就是铅垂法）
将△ABD 分割为两个三角形，△ADF 和△ABF，S△ABD=S△AFD+S△AFB．如图3
图3
（3）．教师引导，师生共同解决（3）．
师：在 x 轴上是否存在一点 P，使得 AP＋PD 的值最小？这是我们学过的什么模型？
生：将军饮马模型，两定点一直线，求最小值的问题．
师：应该怎么做呢？
生：作点 D与 x 轴的对称点，设为D'（0，-1），连接 AD'，与x 轴相交，交点为P，这时 AP+DP 的值最小．
解：（3）存在．如图5，作点 D关于 x 轴的对称点，为 D'（0，-1），接 AD'与x轴相交，交点为点 P，连接 DP，这时 AP+PD 的值最小．
图5
与前面的计算类似，最后可以得到：在 x 轴上存在点 P（⅔，0），使得 AP＋PD 的值最小．
（2）师生共同总结．
师：在一次函数背景下研究几何问题，如三角形的面积、形状、线段大小与最值等等，基本方法：从函数中转化关键坐标→线段→图形；或者从图形中拆分关键图形→寻找线段→转化坐标→回归函数，紧紧围绕数形结合思想解决问题。
探究二： 二次函数中的几何问题
例题1：具体见2019年广东省卷第25题，如图6所示；
图6 图7
例题2：具体见2019年广州市卷第25题；
这两道解答题代表了二次函数综合题的两大类型，第一类是把函数图象与几何图形结合起来，考查图形的属性，即函数问题解析化。如2019年广东省卷第25题，试题以二次函数为背景，涉及了旋转变换，等边三角形，平行四边形，全等三角形，相似三角形，勾股定理，三角函数，一元二次方程等知识点，综合性较强，考查了分类讨论、数形结合、方程思想、转化思想。第二类是以代数问题为背景，凸显对函数本质的考查, 即考查函数的概念、图象和性质，借助图象讨论函数的增减性和最值等性质。如2019年广州市卷第25题，试题涉及含参数的二次函数，考查了二次函数的顶点坐标，最值，平移变换，一次函数的图象与性质，方程与不等式等知识点，注重初高中知识的衔接，体现了数形结合、方程思想、转化思想。培养学生提升此类综合解题能力，主要在初三寒假与第二学期，通过讲题PK，语音作业、同学互讲，手抄报等形式，甚至每周对一道压轴题进行变式（改条件，变结论，增设多个问题等形式）。
三、提升初中生解数学综合题能力的步骤：分年级突破教学难点
在初中数学教学过程中，几何类的二次函数综合题,难度往往较大, 涉及的范围非常广，主要有存在性问题，运动型问题，操作性问题以及综合型问题。日常教学期间，必须要引导学生对题目进行深入探讨，了解题目的本质，而不是一味地追求解题速度，要告知学生在完成同一类型的题目之后，一定要对设计问题方面存在的异同点进行反思，思考解决该问题时所使用的解题方法具有什么共性，积极引导学生在学习过程中，多尝试一题多解的方式，从相同题目的不同角度出发对问题进行探讨研究，只有平时多看多练，在考场上才能发挥自如，提炼出一题多解的解法之间的共通性，做到一题多解，称为通法，随后再尝试利用通法对同类型的问题进行解答，总结出多解过程中出现的问题，积累更多解决问题的经验，这些经验都是多次尝试后得出的，之后必定记忆深刻，再次遇到相同的问题之后就不会再犯错误。在初中三年的教学中，用如下的策略层层突破难点，提升学生分析题目的能力与解题思路：
（一） 初一：重积累错题与思维导图，培养习惯与学法指导。
初一的学生没有理解能力与多向思维比较弱，为培养严谨思维能力，一方面进行培养良好学习习惯与学法指导，强调每天作业习惯四步曲：①订正作业错题；②复习当天知识点；③认真完成笔头作业；④预习明天新知识。另一方面培养学生做错题本：每周末要求学生从平时作业与考试卷上积累错题，在每道错题上分析错因，写出运用的知识点，写出详细的解答过程。最后重视知识网络构建，培养学生做思维导图：每单元结束指导学生梳理知识点与知识点之间的关联，并让学生做思维导图，并张贴在班级黑板报上通过投票选出优秀作品，互相学习，进行分享，对全班同学来说是一个很好的学习方式，最后评出一、二、三等奖给予奖励。（附有理数思维导图）
例如：关于x的一元一次方程(a-2)x|a|-1+5=0中，学生常常会漏掉a-2≠0，不仅是审题的能力，主要的是对一元一次方程的概念掌握不透，提升此类问题最好就是通过积累题目，不仅深入理解概念，而且熟悉各类概念的考题，甚至相似题型，把握题目的共异性。因此初一年级开始培养学生注重错题积累，重点培养良好的学习习惯，还突破重难知识点的熟悉与关联。
（二）初二：重积累综合题型，通过讲题，培养分析题目能力
坚持做思维导图，每周让学生积累一道至少有3小问以上的综合题（题目主要来源于平时作业或测试），并鼓励学生之间互相讲题，从而达到一题多解，通式通法的能力，另外寒暑假鼓励学生主要积累如下三大类问题：三角形背景下的图形变化、四边形背景下的图形变化、一次函数背景的几何问题。四边形，每类积累至少4道，分析每类题目涉及的考点，写出各题的综合分析思路，并找出每类题目之间的关联与差异。如下题，是一道研究四边形背景下的图形变化，体现通式通法。（附全等思维导图、学生积累）
例如：在正方形ABCD中，旋转边AB所在直线，方向为顺时针，得到直线AM，过点C作CE⊥AM，点E为垂足，连接BE．
(1) 当时，设AM交BC于点F，
① 如图8，若∠BAE＝35°，则∠BCE＝__________ °；
② 如图9，AE，BE，CE之间的数量关系可以使用等式进行表述，并证明．
图8 图9 图10
（三） 初三：重题目的变式，携手突破中考压轴题
初中大部分的知识点已学完，突破综合题型的难度大大提高，这时鼓励学生以四人小组的形式，每周对一道压轴题进行变式（改条件，变结论，增设多个问题等形式），把题目的详细解答过写在手抄报上，并张贴在班级黑板报上分享[3-6]。另外为了突破二次函数背景下的三角形问题，进一步激发学生学习数学的热情与能力的提升。利用国庆假期，对学生举行了讲题比赛，从四道题选一道题，以录音的形式提交，发到班级群进行投票评比，最后老师总结各题好的方法，汇集一题多解，资源分享。同时要求学生每周末完成一道近五年广州市中考第23、24、25题之一 ，对于做错或能力弱的同学，教师及时了解学生存在哪些知识点遗忘，哪些知识联系不起来等等，甚至哪些解题方法和思想不掌握，要积极地帮助学生分析问题产生的原因，从而寻求到解决的办法。以上这些做法不仅提高学生学习数学的热情，而且降低学生对综合数学题型的畏难心理，提升了学生解决综合数学题型信心。
例如：如图11，已知一次函数的图像与x轴相交于A点，与y轴相交于B点，一次函数的表达式为y=x+3，抛物线过A、B两点，抛物线的表达式为y=-x²+bx+c，与x轴相交，交于C点。
（1）求b、c的值；
（2）如图11，AC的中点为点D，在线段BD上有点E，BE与ED相等，连接CE，对CE进行延长与抛物线相交，交点为M，求M的坐标；
图11 图12 备用图
基本方法：在上面的分析中可以看出无论和何种旋转，在分析时需要紧紧围绕“变”与“不变”的量展开，找准旋转前后的对应点、对应线段和旋转角等，然后就可以在此基础上进行分析。
四、结语
统计数据表明，在初中数学教学中，采用以上的方法和策略，能较好地提升学生的解题能力，涵养学生数学学科的核心素养，教学质量也得以较大的提高。
表一：初一级学生入学成绩
提高学生的解题能力是数学教师的永恒课题，教师的教学只有与学生的认知规律和身心发展规律相互契合、同频共振，才能确保我们在教会学生解题、提升孩子们解题能力的道路上行稳致远、硕果累累。
参考文献
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