一、提升初中生解数学综合题能力的钥匙:思想和方法
1、学会运用数形结合思想
在初中数学的教学中,整个数学教学过程都离不开“数”与“形”,学生想要学好数学,必须要掌握数形结合能力,在学习过程中有效运用数形结合思想。这一解题思想的运用思路主要是:在对图形性质进行分析时,是以几何直观角度的方式进行的,然后分析数量关系,找到解决问题的方法与手段,或是分析数量关系研究图形性质,继而找出解题方案,解决问题,这种解题思想为数形结合思想。在该思想中,将“数”与“形”有效地结合在一起,从而解决问题。近年来的中考压轴题中,观察题目类型可以看出,平面直角坐标系相关的题目占比较大,这类题目解题时必须要找出点与坐标之间的关系,在解决平面直角坐标系的相关问题时,一方面能够利用“数”研究“形”,另一方面又能够利用“形”研究“数”,最终解决问题。
2、学会运用函数与方程思想
学生在数学学习过程中,要学习利用函数与方程思想解决问题,在掌握函数与方程思想过程中,学生可以通过对问题中存在的数量关系进行分析,结合题目中已知的条件设定出相应的未知数,并转换题目中的已知条件,将其转换为方程(组),解方程(组),求出问题的正确答案,这种解题思想被称为方程思想。在数学问题解题过程中,学会利用方程思想的关键在于建立方程(组),用过对题目中给出的条件进行分析,结合已知条件建立方程(组),从而解决问题。这种解题思想不仅在几何问题、代数问题中得到广泛应用,在生活方面也得到了广泛的应用。在初中数学解题中,函数具有较重的学习比例,函数的主要类型包括直线与抛物线,同时也是一次函数与二次函数的图像形式,可以从上面的分析中得出,在对函数性质、函数解析式进行求解时,函数与方程思想的应用十分关键。例如:要确定一个函数的解析式,必须要根据题目中给出的条件列出与之相对应的方程(组),解方程(组)得到答案,解决问题。
3、学会运用分类讨论的思想
在数学学习中,分类讨论的思想能够看出学生做题时的思维是否严密、准确,通常来说,题目中给出的条件都具有一定的多变性以及不确定性,而利用条件的上述特性能够更好地观察学生的解题思维状况。在对数学问题进行解决时,在讨论时需从不同的角度出发,对容易出现错误、中考压轴题等进行分类讨论,同时也可以对热点问题进行分析。部分数学问题在解决时,可能会存在不同的情况,这时就需要学生运用分类讨论的思想思考问题,通过对不同情况进行分类解决,最终进行综合求解,这种解题方式称为分类讨论法。学生在利用分类讨论思想解题时,必须要严格按照分类讨论的原则进行分类,首先,必须要确保分类的每一个组成都是独立状态;其次,每次分类应当保持相同的分类标准;最后,分类讨论必须要逐级开展。
二、提升初中生解数学综合题能力的路径:分析中考压轴题的解题过程
例题1:一次函数中的几何问题
见图1:已知条件为直线 AB与直线 AC相交,交点为A,AB为y=-x+4,AB与x 轴相交,交点为B,直线 AC分别过点C与点D,C与D分别为C(-2,0)、(0,1),连接 BD。
(1)对直线 AC 的解析式进行计算。
(2)计算△ABD的面积、A 的坐标。
(3)在x 轴上,要想让AP+PD的值最小,是否存在这样一个点P?求解点P,阐述理由。
图1
(1).学生读题,观察图形,独立解决(1).
解:(1)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b(k≠0).
(2).教师引导解决(2)。学生分小组讨论,指定学生汇报,师生共同指正.
师:如何求△ABD 的面积?
生 1:利用大面积减小面积的方法,也就是补的方法,S△ABD=S△EDB-S△AED.如图2
图2
生 2:将△ABD 分割为两个三角形,△ADF 和△ABF,S△ABD=S△AFD+S△AFB.如图3.
图3
解:方法一(补):
如图4,设直线 AB 与 y 轴相交,交点为点E,作 AF⊥y 轴于点 F.
图4
方法二(割):(这种割的方法在二次函数求面积中是常规方法,也就是铅垂法)
将△ABD 分割为两个三角形,△ADF 和△ABF,S△ABD=S△AFD+S△AFB.如图3
图3
(3).教师引导,师生共同解决(3).
师:在 x 轴上是否存在一点 P,使得 AP+PD 的值最小?这是我们学过的什么模型?
生:将军饮马模型,两定点一直线,求最小值的问题.
师:应该怎么做呢?
生:作点 D与 x 轴的对称点,设为D'(0,-1),连接 AD',与x 轴相交,交点为P,这时 AP+DP 的值最小.
解:(3)存在.如图5,作点 D关于 x 轴的对称点,为 D'(0,-1),接 AD'与x轴相交,交点为点 P,连接 DP,这时 AP+PD 的值最小.
图5
与前面的计算类似,最后可以得到:在 x 轴上存在点 P(⅔,0),使得 AP+PD 的值最小.
(2)师生共同总结.
师:在一次函数背景下研究几何问题,如三角形的面积、形状、线段大小与最值等等,基本方法:从函数中转化关键坐标→线段→图形;或者从图形中拆分关键图形→寻找线段→转化坐标→回归函数,紧紧围绕数形结合思想解决问题。
探究二: 二次函数中的几何问题
例题1:具体见2019年广东省卷第25题,如图6所示;
图6 图7
例题2:具体见2019年广州市卷第25题;
这两道解答题代表了二次函数综合题的两大类型,第一类是把函数图象与几何图形结合起来,考查图形的属性,即函数问题解析化。如2019年广东省卷第25题,试题以二次函数为背景,涉及了旋转变换,等边三角形,平行四边形,全等三角形,相似三角形,勾股定理,三角函数,一元二次方程等知识点,综合性较强,考查了分类讨论、数形结合、方程思想、转化思想。第二类是以代数问题为背景,凸显对函数本质的考查, 即考查函数的概念、图象和性质,借助图象讨论函数的增减性和最值等性质。如2019年广州市卷第25题,试题涉及含参数的二次函数,考查了二次函数的顶点坐标,最值,平移变换,一次函数的图象与性质,方程与不等式等知识点,注重初高中知识的衔接,体现了数形结合、方程思想、转化思想。培养学生提升此类综合解题能力,主要在初三寒假与第二学期,通过讲题PK,语音作业、同学互讲,手抄报等形式,甚至每周对一道压轴题进行变式(改条件,变结论,增设多个问题等形式)。
三、提升初中生解数学综合题能力的步骤:分年级突破教学难点
在初中数学教学过程中,几何类的二次函数综合题,难度往往较大, 涉及的范围非常广,主要有存在性问题,运动型问题,操作性问题以及综合型问题。日常教学期间,必须要引导学生对题目进行深入探讨,了解题目的本质,而不是一味地追求解题速度,要告知学生在完成同一类型的题目之后,一定要对设计问题方面存在的异同点进行反思,思考解决该问题时所使用的解题方法具有什么共性,积极引导学生在学习过程中,多尝试一题多解的方式,从相同题目的不同角度出发对问题进行探讨研究,只有平时多看多练,在考场上才能发挥自如,提炼出一题多解的解法之间的共通性,做到一题多解,称为通法,随后再尝试利用通法对同类型的问题进行解答,总结出多解过程中出现的问题,积累更多解决问题的经验,这些经验都是多次尝试后得出的,之后必定记忆深刻,再次遇到相同的问题之后就不会再犯错误。在初中三年的教学中,用如下的策略层层突破难点,提升学生分析题目的能力与解题思路:
(一) 初一:重积累错题与思维导图,培养习惯与学法指导。
初一的学生没有理解能力与多向思维比较弱,为培养严谨思维能力,一方面进行培养良好学习习惯与学法指导,强调每天作业习惯四步曲:①订正作业错题;②复习当天知识点;③认真完成笔头作业;④预习明天新知识。另一方面培养学生做错题本:每周末要求学生从平时作业与考试卷上积累错题,在每道错题上分析错因,写出运用的知识点,写出详细的解答过程。最后重视知识网络构建,培养学生做思维导图:每单元结束指导学生梳理知识点与知识点之间的关联,并让学生做思维导图,并张贴在班级黑板报上通过投票选出优秀作品,互相学习,进行分享,对全班同学来说是一个很好的学习方式,最后评出一、二、三等奖给予奖励。(附有理数思维导图)
例如:关于x的一元一次方程(a-2)x|a|-1+5=0中,学生常常会漏掉a-2≠0,不仅是审题的能力,主要的是对一元一次方程的概念掌握不透,提升此类问题最好就是通过积累题目,不仅深入理解概念,而且熟悉各类概念的考题,甚至相似题型,把握题目的共异性。因此初一年级开始培养学生注重错题积累,重点培养良好的学习习惯,还突破重难知识点的熟悉与关联。
(二)初二:重积累综合题型,通过讲题,培养分析题目能力
坚持做思维导图,每周让学生积累一道至少有3小问以上的综合题(题目主要来源于平时作业或测试),并鼓励学生之间互相讲题,从而达到一题多解,通式通法的能力,另外寒暑假鼓励学生主要积累如下三大类问题:三角形背景下的图形变化、四边形背景下的图形变化、一次函数背景的几何问题。四边形,每类积累至少4道,分析每类题目涉及的考点,写出各题的综合分析思路,并找出每类题目之间的关联与差异。如下题,是一道研究四边形背景下的图形变化,体现通式通法。(附全等思维导图、学生积累)
例如:在正方形ABCD中,旋转边AB所在直线,方向为顺时针,得到直线AM,过点C作CE⊥AM,点E为垂足,连接BE.
(1) 当时,设AM交BC于点F,
① 如图8,若∠BAE=35°,则∠BCE=__________ °;
② 如图9,AE,BE,CE之间的数量关系可以使用等式进行表述,并证明.
图8 图9 图10
(三) 初三:重题目的变式,携手突破中考压轴题
初中大部分的知识点已学完,突破综合题型的难度大大提高,这时鼓励学生以四人小组的形式,每周对一道压轴题进行变式(改条件,变结论,增设多个问题等形式),把题目的详细解答过写在手抄报上,并张贴在班级黑板报上分享[3-6]。另外为了突破二次函数背景下的三角形问题,进一步激发学生学习数学的热情与能力的提升。利用国庆假期,对学生举行了讲题比赛,从四道题选一道题,以录音的形式提交,发到班级群进行投票评比,最后老师总结各题好的方法,汇集一题多解,资源分享。同时要求学生每周末完成一道近五年广州市中考第23、24、25题之一 ,对于做错或能力弱的同学,教师及时了解学生存在哪些知识点遗忘,哪些知识联系不起来等等,甚至哪些解题方法和思想不掌握,要积极地帮助学生分析问题产生的原因,从而寻求到解决的办法。以上这些做法不仅提高学生学习数学的热情,而且降低学生对综合数学题型的畏难心理,提升了学生解决综合数学题型信心。
例如:如图11,已知一次函数的图像与x轴相交于A点,与y轴相交于B点,一次函数的表达式为y=x+3,抛物线过A、B两点,抛物线的表达式为y=-x²+bx+c,与x轴相交,交于C点。
(1)求b、c的值;
(2)如图11,AC的中点为点D,在线段BD上有点E,BE与ED相等,连接CE,对CE进行延长与抛物线相交,交点为M,求M的坐标;
图11 图12 备用图
基本方法:在上面的分析中可以看出无论和何种旋转,在分析时需要紧紧围绕“变”与“不变”的量展开,找准旋转前后的对应点、对应线段和旋转角等,然后就可以在此基础上进行分析。
四、结语
统计数据表明,在初中数学教学中,采用以上的方法和策略,能较好地提升学生的解题能力,涵养学生数学学科的核心素养,教学质量也得以较大的提高。
表一:初一级学生入学成绩
提高学生的解题能力是数学教师的永恒课题,教师的教学只有与学生的认知规律和身心发展规律相互契合、同频共振,才能确保我们在教会学生解题、提升孩子们解题能力的道路上行稳致远、硕果累累。
参考文献
[1]蒋素芳;;初中数学学生分析和解决问题的能力的组成及培养策略[J];科教新报(教育科研);2011年28期
[2]樊海华;;在问题海洋里提升学习能力——初中数学问题教学中学生学习能力培养策略刍议[J];文理导航(中旬);2011年07期
[3]李欣莲, 曹一鸣. 合作问题解决能力的培养——基于美国高质量数学教学的研究与启示[J]. 教育科学研究, 2019, 289(04):81-86.
[4]温珂红. 授之以鱼,不如授之以渔——浅谈初中生数学解题能力的培养[J]. 试题与研究, 2019(6).
[5]陈罩添. 精心创设数学探究情境,提升初中生探究能力策略分析[J]. 中学课程辅导(教师通讯), 2019, 000(002):P.132-132.
[6]赖银燕. 新中考政策下提高初中生数学计算能力的策略和研究[J]. 数学学习与研究, 2019(20).