“现代信号处理”是电子与通信工程类专业研究生的重要学位基础课，主要讲授现代最新平稳和非平稳信号处理方法的基本原理与工程应用。小波变换是非平稳信号分析的重要数学工具，具有良好的时频局部化特征，通过调整时间和频率可以对信号进行多尺度、多分辨率分析，从而实现对非平稳信号特征信息的有效提取。小波变换在信号处理、图像处理、模式识别等技术领域具有广泛的应用，也是“现代信号处理”课程的重要知识点之一。
小波变换涉及一系列复杂的数学概念和原理，如傅里叶变换、滤波器组、时频分析等。研究生在学习时，往往难以深入理解这些概念，以及它们在小波变换中的作用和意义。同时，小波变换的性能在很大程度上依赖于选择的小波基函数。不同特性的小波基函数适用于不同的信号类型和处理需求。如何根据具体应用场景选择合适的小波基函数也是小波变换应用中的一个难点。此外，小波变换的实际应用通常需要编程实现，这就要求研究生不仅掌握小波变换的理论知识，还需具备一定的编程能力。综上所述，小波变换既是“现代信号处理”课程教学中的重点，也是研究生学习过程中的难点。
针对以上问题，本课程在小波变换章节进行了案例法教学设计，针对小波变换的应用介绍了图像去噪实例，对于小波变换新方法与新技术的拓展，重点分析了经验小波变换方法在故障诊断中的工程应用案例。
1 基于小波变换的图像去噪
作为一种信号分析的强大数学工具，小波变换被广泛应用于各个领域，如图像处理、语音信号处理、数据压缩、地震勘探、工业设备故障诊断、医学影像分析、大气与海洋波分析等。课程以图像去噪为典型案例，介绍小波变换的具体应用实现。
图像去噪是一种图像处理技术，旨在保留图像中的有用信息，减少或消除噪声，提高图像质量。利用小波变换的多尺度分析能力，可以在不同分辨率层次上识别和去除噪声。小波变换图像去噪的基本原理[1]是：含噪图像信号小波变换后产生的小波系数含有信号的重要信息，其中有用信号经小波分解后产生的小波系数较大，而噪声信号的小波系数较小。选取一个合适的阈值，大于该阈值的小波系数是由信号产生的，予以保留；小于该阈值的小波系数则是由噪声产生的，置零，由此实现图像去噪。
小波变换图像去噪的具体实现步骤如下：
步骤1：初始化小波基函数、分解层数、阈值，对含噪图像进行多尺度小波分解；
步骤2：对分解后的各尺度图像信号进行阈值处理，把属于噪声的小波系数去除，保留并增强属于信号的小波系数；
步骤3：对阈值处理后图像信号进行小波逆变换，重构得到去噪后图像信号。
利用MATLAB软件对小波变换图像去噪算法进行了编程仿真实现。仿真实验用原始图像、含噪图像和小波变换去噪图像如图1所示。
图1 原始图像和含噪图像
从图1可以看出，相比于含噪图像，经小波变换去噪后的图像中高斯白噪声有所减少，图像更平滑，同时原图中的关键信息得以保留。通过开展单层小波分解与多尺度小波分解图像去噪方法的对比实验，使研究生对小波变换在图像去噪中的应用效果有具象的认知，同时通过具体的视觉效果和客观数据感知多尺度小波变换相比于单尺度小波变换的优越性。
2 基于经验小波变换的变压器绕组故障诊断
经验小波变换（Empirical Wavelet Transform, EWT）是Jerome Gilles于2013年提出的一种自适应信号分析方法。该方法以小波理论为基础，将信号表示为一些在Fourier频谱具有紧支撑的单分量调幅—调频信号之和，通过检测每个单分量的Fourier频谱段自适应地构造经验小波分解信号[2]。与传统小波变换相比，经验小波变换能够自适应地分解信号，不需要预先设定基函数和尺度参数，减少了参数选择的复杂性，更适用于传统小波变换难以处理的复杂信号。经验小波变换适用于非线性和非平稳信号处理，已应用于众多工程领域，如机器故障诊断、地震数据分析、电力系统监测、医学疾病诊断等。本课程利用电力变压器故障诊断工程案例，介绍经验小波变换的具体应用实现。
作为电力系统的重要基础设施之一，电力变压器的安全稳定至关重要。振动信号是变压器运行状态的主要监测数据，能够反映变压器绕组故障情况，是变压器故障诊断的重要参考指标。故障状态下，变压器振动信号呈现出快速变化的非平稳特性。因此可采用经验小波变换对振动信号分析，从而实现变压器绕组线圈故障诊断。
利用经验小波变换进行变压器绕组故障诊断[3]的具体步骤如下：
步骤1：利用经验小波变换将变压器振动信号分解为若干EWF分量。
步骤2：计算各分量能量：
（1）
其中，j为各EWF分量中的元素数量。
步骤3：由各分量能量构造振动信号特征向量：
（2）
其中，n为EWF分量数量。
步骤4：以不同状态变压器振动信号特征向量为训练集建立Fisher分类器，实现变压器绕组故障分类。
以变压器正常状态、绕组轴向变形和绕组径向变形三种不同状态下的振动信号为实验数据开展仿真实验，检验经验小波变换在变压器绕组故障诊断中的应用效果。对不同状态振动信号进行经验小波变换。信号经EWT分解后产生的各经验小波函数分量具有不同的频率特征，对应原信号的各频率组成成分。不同状态振动信号分解产生的EWF分量无论在幅值还是频率特性都具有明显差异。
根据各EWF分量的能量构造信号特征向量，训练Fisher分类器。用该分类器对不同工作状态下的变压器振动信号特征向量进行分类，结果如图2所示。
图2 经验小波变换提取特征分类效果
图2中，三种不同状态的变压器振动信号被完全区分开，没有交叉重叠现象，说明经验小波变换方法能够较好地实现变压器绕组故障诊断。
3 结语
针对“现代信号处理”课程中的小波变换内容，本文提出了案例法教学设计方案。在理论讲授过程中，结合小波变换的应用引入图像去噪案例。详细阐述了小波变换图像去噪的基本原理与实现步骤，并通过仿真实验展示了小波变换在图像去噪中的应用效果。此外，拓展介绍了小波变换理论的新方法——经验小波变换。在此过程中，引入变压器绕组故障诊断工程案例，通过实例分析，强化了学生对理论知识应用于工程实际的认知。
参考文献
[1] 张贤达.现代信号处理[M].第二版.北京：清华大学出版社，2015.378-428.
[2] GILLES J. Empirical wavelet transform[J].IEEE Trans on Signal Processing,2013,61(16):3999-4010.
[3] 赵妙颖，许刚.基于经验小波变换的变压器振动信号特征提取[J].电力系统自动化，2017，41（20）：63-69.
