高等数学中有很多概念和定理，学生在学习时，往往只是学习了表面的形式和内容，而没有对概念和定理进行深入的思考，从而培养不了学生对知识的迁移能力，这样对后期的一些学习带来很多的阻碍，使得对于更难更深的知识点的学习就更加困难。本文就从高等数学中的几个小知识点出发，对于一些概念及定理如何进行知识和方法的迁移做了分析，希望老师们在教学时多加强对学生的引导，多让学生学会对知识的和方法的迁移，从而培养学生的思维发散能力和解决问题的能力。

我们在高等数学中多次会遇到高阶无穷小，而对于高阶无穷小的理解很多同学都停留在表面上。高阶无穷小的定义表述很简单，设是某个极限过程中的无穷小，如果在这个极限过程中,很多同只背定义，而不能理解式子背后的实质。比如从这个定义我们得知：.  这就是对数学概念和符号的理解，对知识的迁移。如果这个小知识点卡住了，后面讲解泰勒公式求解极限的运算就会理解有困难。例如计算，这里要注意分子两个高阶无穷小相减不能直接写为0，而仍为的高阶无穷小，最后一步的计算用到 .

下面我们再以导数为例讲讲知识的迁移。‘，学生在学习导数定义时，对于形式认识不够，所以在做很多涉及到利用导数定义来进行变形的题目时候会卡住。例如已知，存在，计算极限. 这时如果能观察到题目的已知条件，就应该想到往导数的定义上面转化，我们想变形出分子需要减去f(1)，分子中的括号里面就需要凑出减去1,这时可以分析即为从而分母需要凑出也就是再使用导数的定义就可以计算出结果，也就是=. 这种类似的变形还有很多形式的理解和迁移。

再比如，学习罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理的时候，学生只认识书上的函数符号，认为这些定理只对，成立，而对于复杂函数或者抽象函数使用这些定理时理解就有困难，究其根本原因是对于定理的理解深度不够，知识没有学会迁移，从而给后面较难定理的学习带来了一系列的困难。

比如罗尔定理：只要函数满足[a,b]连续，(a,b)可导，，则在(a,b)内至少存在一个ξ，使得. 很多同学在学习时只认识，其实我们更多的是要去理解不管函数用什么字母表示，不管形式有多复杂，只要函数满足上面三个条件，就有相应的结论。另外定理的结论形式我们要认识清楚，右边等于0，左边是一个函数的导数在。这就需要我们在学习过程中重视知识的迁移，而不仅仅是满足对定理符号的死记硬背。例如设在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且，证明：在（0,1）内至少存在一个点ξ，使得. 这道题结论是要证明，即证，因此我们要找一个函数求导的结果在 [，我们就很容易观察到[ [,这时我们就需要构造一个函数g(x)= ,对 g(x)这个函数使用罗尔中值定理即可完成证明。

在学习拉格朗日中值定理的时候，很多同学只记住了定理的结论形式：,而对于抽象函数满足拉格朗日定理的结论理解有困难.例如函数设在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则=也满足拉格朗日定理的条件，因此至少存在一个 使得=,很多学生在学习的时候就觉得这个符号比较抽象，不能理解，究其原因就是学生认为定理只对这个函数成立，其实我们应该理解只是一个函数的符号，实函数类型是多种多样的，只要满足条件，都可以用结论，这里是对=使用中值定理。另外还有一些学生对于抽象函数的导数计算理解有困难，从而右边的表达式写不出来。

对柯西中值定理的学习也是一样。很多学生只记得柯西中值定理的结论, 对于复杂的一些使用中值就会觉得比较困难，归根到底就是对于公式的理解还停留在表面，对于定理中函数的形式的理解没有形成迁移。比如我们在证明泰勒公式余项形式的时候很多学生都觉得困难，其实它的实质就是利用余项和这两个函数多次使用柯西中值定理，这两个函数就是柯西定理中的.

学习积分中值定理也是类似的，比如积分中值定理要对在学习定理时只认识区间端点就是字母a, b，其实如果我们取 a，这时可以引导学生理解 这样学生在学习后面的章节证明积分上限求导的时候，就会简单很多。因为利用导数定义证明的过程中分子最后的变形实质就是积分中值定理的使用。老师们在讲一些知识点的时候，要试着去引导学生对于知识的迁移，而不是只死记硬背条件和结论，要去思考各种变形，这样会带来思维的扩散，可以扩充学生对于概念及公式理解的广度和深度。

再比如我们在讲述定积分的定义时，，对于这个定义的理解，不仅仅要能从左边写出右边特殊和式的极限值，也要能从右边的形式写出左边的定积分形式。这就需要我们先理解书上的例题，利用定积分的定义求解 其思想就是把[0,1]区间等分，区间长度都为，这时等价于，从而可以把积分表示为反过来对于特殊和式的极限值我们也可以表示成定积分,这时就要对上面的方法进行迁移，比如认识到上面的例题，=.  类似的对于这个极限 .

以上只是高等数学中几个小的例子，我们可以通过这些例子思考如何在教学过程中对学生加以引导，让学生学会对概念和对方法的迁移。学生在学习过程中对于一个概念或者公式的理解，不能只基于形式上的和基于符号上的，而是更多的是挖掘对这些概念的实质，从而达到学生的扩散思维，提高他们分析问题和解决问题的能力。

参考文献

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