刘甜甜 梁儒子 许怀艺 刘甜甜 梁儒子 许怀艺

辽宁师范大学数学学院 辽宁师范大学数学学院

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关键词: 深度学习； “5E”教学模式； 深度学习的“5E”教学模式； 数学实验； 垂径定理； 深度学习；“5E”教学模式；深度学习的“5E”教学模式；数学实验；垂径定理

0引言

全国教育工作会议、十四五规划等多次将“不断开辟教育数字化新赛道”作为发展重点，数字技术（如GeoGebra，以下简称“GGB”）与数学教育的深度融合，正逐渐改变传统的教学模式，为数学学习带来了前所未有的便利与创新.以“教师输出—学生输入”为主的传统教学模式中，学生被动接受，学习也停留在“认知”与“理解”的浅层学习现状，教育界逐渐认识到深度学习的重要性，并提出以学生为中心的“5E”教学模式.而在高中数学教学中，GGB辅助数学实验课的引入为5E教学模式的实施提供了重要载体，抽象的数学概念转化为可视化的操作过程，这种“做中学”的方式，帮助他们从感性认识上升到理性思考，使得深度学习自然发生，实现数学学科育人目的.

1深度学习与“5E”教学模型概念

1.1深度学习的内涵

根据国内外关于深度学习概念的阐述，将深度学习理解为一种主动的、带有批判思维的建构主义学习过程，能将新知识与已有知识有效地联系起来，并且能够应用所学知识在真实复杂的情境下解决现实存在的问题^[1].深度学习的五大特征“联想与结构”“活动与体验”“本质与变式”“迁移与应用”“价值与评价”是判断深度学习是否发生的重要依据.

1.2“5E”教学模式的内涵

由美国生物学课程研究会提出的“5E”教学模式由引入（Engage）、探究（Explore）、解释（Explain）、迁移（Elaborate）、评价（Evaluate）五个教学环节组成.每个环节的首字母都是E，故简称“5E”教学模式^[2].

“5E”教学模式中的引入环节作为起始环节，通过创设合适的教学情境，激发学生学习动机，促进学生积极探究；探究环节学生通过实验、观察或讨论等方式，主动构建知识、培养科学思维和解决问题能力的核心阶段，是“5E”教学模式中的核心环节；解释环节是学生在探究环节中积累的经验和发现的基础上，通过教师的引导和同伴的交流，将感性认识上升为理性认识的重要阶段，在“5E”教学模式中起着承上启下的关键作用，属于内化环节.“5E”教学模式中的迁移环节，注重将知识应用到新的情境中，帮助学生实现知识的迁移和深化，属于应用环节.评价环节是“5E”教学模式的反馈环节，通过多种方式评估学生的学习效果，同时帮助学生反思自己的学习过程.

2.深度学习与“5E”教学模型融合的模型概述

参考詹森和尼克森的深度学习路线^[3]，结合“5E”教学模式与深度学习的契合之处，构建深度学习视域下高中数学实验课的“5E”教学模型（见图1），下面结合教学策略对数学实验课的各个环节进行简要分析.

图1 深度学习的5E教学模型

(1) 引入环节（Engage）：创设合适情境 激发深度兴趣

“引入”环节，也称吸引环节，是整个教学模式的起始环节，其目的是充分暴露学生的前认知，了解学生的学情，在讲授的过程中通过动态软件GGB创设数学情境，能起到吸引学生注意力的作用.基于动态软件的数学实验课是一种创新的教学方式，学生在思考问题的过程中关注知识间的联想与结构，联想旧知思考如何解决新题，产生认知冲突，为后续探究奠定基础.

(2) 探究环节（Explore）：关注活动体验 驱动高阶思维

数学实验课与常规课堂最大的区别在于学生的学习体验与知识的建构过程.探究环节是整个教学模式的核心环节，鼓励学生通过动手实践、观察、实验或讨论等方式主动参与学习，帮助学生从“被动接受”转向“主动探究”.数学知识具有高度抽象性，单纯依靠老师的讲授有些地方学生难以理解，最终变成死记硬背.GGB等数字技术工具通过动态几何、代数计算和数据分析等功能，将抽象的数学概念可视化，学生根据自己的学习进度和兴趣，自主探索数学问题，明确知识的发生发展过程，在主动构建知识的过程中，直观理解抽象的数学概念和原理.例如，学生可以通过调整参数，观察不同情况下数学模型的演变，从而培养独立思考和解决问题的能力.这种教学方式不仅提升了课堂的趣味性和有效性，还为学生的终身学习和创新实践、批判性思维奠定了坚实基础.

(3) 解释环节（Explain）：强化知识本质 构建系统认知

解释本质上来看是一种对话，学习是同客观世界、他人和自己的三位一体的对话性实践.解释的过程与倾听不同，包含着复杂的心理机制.学生在探究环节积累实践经验后，通过教师的引导和同伴的交流，总结探索过程中发现的规律或解决方法，并用严谨科学的数学语言表达出来，有助于提高学生的抽象概括能力与逻辑思维能力.

在解释的过程中，学生从表面现象深入到本质规律，将零散模糊的感性经验，变成系统化、理论化的概念和规律，这是将感性认识上升为理性认识的关键阶段.它不仅是探究环节的延伸，更是知识从实践到理论的升华过程.

(4) 迁移环节（Elaborate）：实现知识转化 促进问题解决

迁移环节在“5E”教学模式中是一个至关重要的阶段，它帮助学生将新学到的知识和技能应用到新的情境中，从多个角度理解同一概念，从而加深对知识的理解，实现知识的迁移和深化.数字技术与数学教育的深度融合，不仅改变了教学工具和方式，更深刻地影响了学生的学习思维和习惯，从单一应用到综合创新，培养学生迁移能力和创造力.这种迁移能力表明学生真正理解了知识，而不仅仅是记住了它，使学生在未来的学习和工作中能够具备适应新的挑战和需求的能力.

(5) 评价环节（Evaluate）：注重多元化评价 推动元认知发展

评价环节是“5E”教学模式中的最后一个阶段，但它的作用并不仅限于学习结束时，应当贯穿于课堂始终.课堂可以采取多元化评价方式（如测试、观察、讨论、项目展示等）评估学生的学习效果，帮助学生反思自己的学习过程.从结果评价转向过程评价，评价不仅关注学生实验结果，还应重视学生的探究过程和创新思维，可以设计反思性问题（如“如果重做这个实验，你会如何改进？”），培养自我监控和调节能力，推动元认知能力发展.

3教学实践

本教学实践以GeoGebra为依托，GeoGebra一词由geometry（几何）与 algebra（代数）两个单词组合而成，是一款集几何、代数、统计、数据表和计算功能为一体支持跨平台、跨系统交互使用的动态教学软件.与几何画板相比，GGB具有更强的功能和易用性.数学实验是在特定的实验环境下，实验者在教师指导下借助工具，通过数学思考进行结论验证或者问题探究，数学实验课可以根据目的分成检验结论和探究问题两种类型.

本文以椭圆中的“垂径定理”为例，在深度学习的“5E”教学模型下，设计利用GGB进行数学实验的教学案例.

环节Ⅰ：吸引

教师利用数学史引入本节课：公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第三卷中提出了垂径定理及其逆命题.他证明了“如果一条经过圆心的直线二等分一条不经过圆心的弦，则它们成直角；反之，如果它们成直角，则该直线二等分这条弦”.同学们是否还记得你们在初中已经掌握的垂径定理？本堂课我们一起探索“垂径定理”的奥秘.

教师在Geogebra软件上展示圆中的垂径定理：如图2，在中，A、B是圆上不重合的两点，AB是中不平于X,Y轴且不过原点的一条弦，点M是AB中点，连接O、M，则有

图2 圆的垂径定理示意图

学生可以在软件中随意拖动改变A、B两点的位置，观察K_AB·K_OM的值，圆中垂径定理的证明也非常简单，只需利用全等即可证明.

现在学生已经学习了圆锥曲线，那么在椭圆中是否有相应的结论，即设椭圆，A、B是椭圆上不重合的两点，连接A、B得到弦AB，且弦AB是不平行于X、Y轴且不过原点的一条弦，点M为AB中点，连接O、M，则K_AB ·K_OM的情况怎样？由此得到以下实验猜想：

1. K_AB ·K_OM为定值.

2. K_AB ·K_OM的值与椭圆的形状有关，即与a、b有关.

环节Ⅱ：探究

探究环节是整个教学模式的核心环节，鼓励学生通过动手实践、观察、实验或讨论等方式主动参与学习，帮助学生从“被动接受”转向“主动探究”.

1.实验准备

实验准备环节由教师进行演示，并对每个步骤进行解释，为实验的进行奠定基础.

Step1：设置变量a、b，取值范围0~30.

Step2：分别以a、b为参数绘制椭圆.

Step3：在椭圆上取点A、B，并连接A、B.

Step4：取线段AB中点M，连接圆心O与点M.

Step5：分别度量直线AB、OM的斜率K_AB、K_OM.

Step6：计算K_AB ·K_OM，令斜率之积等于K.

图3 椭圆的“垂径定理”实验探究图

2.实验设计

为验证猜想1、2，利用控制变量法设置如下实验：

实验1：保持a、b的值不变，更改A、B的位置，观察K_AB ·K_OM值的变化情况.

实验2：改变a、b的值，再更改A、B的位置，观察K_AB ·K_OM值的变化情况，再与实验1的值进行对比.多次改变改变a、b的值，再重复实验2操作，最后，猜想K_AB ·K_OM的值.

3.实验形式

以小组分工合作的形式进行实验，三人成一小组.一人负责操作实验，一人负责记录实验结果，三人讨论过后由一人进行发言，总结实验结果.

学生可拖动鼠标改变A点与B点位置，点M随之变动，学生可观察K_AB 、K_OM、K_AB ·K_OM斜率值的变化.

4.实验结论

经小组实践操作并讨论后得到如下结论：

结论1：在一个椭圆中，直线AB与直线OM的斜率之积为定值，即K_AB ·K_OM为定值.

结论2：随着椭圆的变化，K_AB ·K_OM的值也随之变化，K_AB ·K_OM的值与a、b有关.

环节Ⅲ：解释

在这一环节要求学生阐述本组的实验过程和相应结论，以及从代数的角度严格证明实验结果的正确性.

证明：（点差法）

环节Ⅳ：迁移

迁移环节要求学生利用探究活动获得的知识去解决新的问题，以下设计的两道应用题都是利用椭圆中“垂径定理”的结论去解题，可以快速轻松的解决问题.此环节要求教师要把握住时机，学生经历了完整的自主探究过程和缜密的推理证明，已经建立了对椭圆中“垂径定理”的认知，之后设计相关问题，引导学生利用所学内容解决新的问题，提升学生的自信心，牢牢把握住学生的求知心理，并在做完题后及时讲评，引导学生思考在什么情况下可以应用椭圆中“垂径定理”，最后由教师总结归纳，在椭圆中遇到“弦中点”和“斜率”时，不妨试试椭圆中“垂径定理”的结论（在大题中要给出相应的证明），从而加深对知识的理解，实现知识的迁移和深化

图4

【解析】由椭圆中的垂径定理知：，

图5

（1）求椭圆的方程.

（2）求弦AC中点的横坐标.

（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.

环节Ⅴ：评价

评价环节分为过程性评价与总结性评价.

过程性评价在实验操作、解释环节和迁移环节实施.在小组合作进行实验时，教师要深入小组内部了解学生的探究情况，在解释环节认真听取每组的成果展示，充分赞赏给予肯定，当学生有错误时及时指出.另外，在小组合作时要求组员间互相监督、评价，互相学习彼此的学习方法与学习技能.在迁移环节教师借助两道应用题来检验学生的学习成果，进而对学生的学习情况进行评价.

总结性评价在课程最后实施.教师鼓励学生在组内进行自我反思，反思内容包括：本节课我学到了什么？还有哪些问题？组员交流后一起解决彼此之间的问题.同时，教师也要对教学内容进行反思，整堂课下来有什么地方做的不够好？如何改进？

4结论

本研究基于深度学习理论，结合“5E”教学模式，构建了GeoGebra支持的高中数学实验教学模型，并以椭圆“垂弦定理”为例展开实践.通过教学实践环节的设计，学生借助GGB的可视化功能，实现了从感性体验到理性认知的跨越，有效促进了知识迁移与高阶思维发展，并通过多元评价推动元认知能力提升.然而，当前深度学习理论与技术融合仍面临教师理论理解不足、教学条件制约等问题.建议教学中注重情境适切性与技术实用性平衡，避免技术形式化倾向，同时加强教师培训以深化理论应用.未来可进一步探索不同数学概念的教学策略，结合实证研究优化教学范式，为数字技术赋能数学教育提供更广泛参考.

参考文献

[1] 郭华.深度学习及其意义[J].课程.教材.教法,2016,36(11):25-32.

[2] 王健,李秀菊.5E教学模式的内涵及其对我国理科教育的启示[J].生物学通报,2012,47(03):39-42.

[3] 高东辉,于洪波.美国“深度学习”研究40年:回顾与镜鉴[J].外国教育研究,2019,46(01):14-26.